征途

【问题描述】

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

【输入格式】

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

【输出格式】

 一个数，最小方差乘以 m^2 后的

【样例输入】

5 2

1 2 5 8 6

【样例输出】

36

【数据范围】

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

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题解：

来推一下式子：

方差：(x₁ - aver)² + (x₂ - aver)² + ... + (x_m - aver)²  / m

然后题意要求乘m²

那么

　m×[(x₁ - aver)² + (x₂ - aver)² + ... + (x_m - aver)² ]

= m×[x_1² + x_{2^{2 + ... + xm2}} - 2aver(x₁ + x₂ + ... + x_m ) + m × aver²]

= m×(x_1² + x_{2^{2 + ... + xm2}}) - 2sum² + sum²  (aver = sum / m)

= m×(x_1² + x_{2^{2 + ... + xm2}}) - sum² 

其实m和sum都为常量，那么只要考虑中间的平方和部分

设f[i][j]为分到点j且分成i段时每一段的平方和

转移方程即为：f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + (sum[j] - sum[k]) * (sum[j] - sum[k])); (k < j)

三方效率肯定过不了，看出这是一个斜率优化的裸题，那就可以虾搞蛋了~\(≧▽≦)/~

1 #include
      
        2 #include
       
         3 #include
        
          4 #include
         
           5 #include
          
            6 #include
           
             7 using namespace std; 8 inline int Get() 9 {10 int x = 0;11 char c = getchar();12 while('0' > c || c > '9') c = getchar();13 while('0' <= c && c <= '9')14 {15 x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';16 c = getchar();17 }18 return x;19 }20 int n, m;21 int t, w;22 int c[10233];23 int s[10233];24 long long aver;25 long long f[3233][3233];26 long long sum[10233];27 double Up(int x, int y, int i)28 {29 return f[i - 1][x] + sum[x] * sum[x] - f[i - 1][y] - sum[y] * sum[y];30 }31 double Down(int x, int y)32 {33 return (sum[x] - sum[y]) << 1;34 }35 long long Dp(int i, int j, int x)36 {37 return f[i - 1][x] + (sum[j] - sum[x]) * (sum[j] - sum[x]);38 }39 int main()40 {41 scanf("%d%d", &n, &m);42 for(int i = 1; i <= m; ++i)43 for(int j = 1; j <= n; ++j)44 f[i][j] = 214748364721474836LL;45 for(int i = 1; i <= n; ++i)46 {47 scanf("%d", &c[i]);48 sum[i] = sum[i - 1] + c[i];49 f[1][i] = sum[i] * sum[i];50 }51 aver = sum[n];52 for(int i = 2; i <= m; ++i)53 {54 t = 1, w = 0;55 s[++w] = i - 1;56 for(int j = i; j <= n; ++j)57 {58 /* 59 for(int k = i - 1; k <= j; ++k)60 f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + (sum[j] - sum[k]) * (sum[j] - sum[k]));61 */62 while(t < w && Up(s[t], s[t + 1], i) / Down(s[t], s[t + 1]) <= sum[j]) ++t;63 f[i][j] = Dp(i, j, s[t]);64 while(t < w && Up(j, s[w], i) / Down(j, s[w]) <= Up(s[w], s[w - 1], i) / Down(s[w], s[w - 1])) --w;65 s[++w] = j;66 }67 }68 printf("%lld", (long long) m * f[m][n] - aver * aver);69 }